اعداد و بخشپذیری (مرحله اول سی و یکمین المپیاد ریاضی- سوال 3):

چند عدد چهار رقمی با ارقام 1، 2، 3، 4 وجود دارد که هیچ کدام از رقم های آن تکرار نشده باشد و مجموع هر دو رقم متوالی آن بر 2 یا 3 (یا هردو) بخشپذیر باشد؟

پاسخ: 2 رقم (3124 و 4213)

در شروع باید بفهمیم که با چهار عدد a   و b و c و d چند عدد چهار رقمی می توانیم بسازیم. دو حالت کلی داریم:

الف- با تکرار: با توجه به فرمول به جای n تعداد ارقام را می گذاریم.

ب- بدون تکرار: با توجه به فرمول به جای n تعداد ارقام را می گذاریم.

ab, bc, cd/2, 3 --> n! = 1.2.3 = 6 --> ab, bc, cd = 12, 21, 13, 31, 24, 42

 البته اگر مسئله اعداد دیگری مانند 5 و 6 و 7 و 8 را داده باشد، سوال و تحلیل متفاوت خواهد بود. 

بخش پذیری (مرحله اول سی و یکمین المپیاد ریاضی کشور- سوال 16):

جمع صورت و مخرج چند تا از کسرهای (  ¹/₉₀ , ²/₉₀ , ³/₉₀ , … , ⁹⁰/₉₀) بعد از ساده کردن بر 3 بخشپذیر است؟

پاسخ: 3 کسر (⁹/₉₀ , ¹⁸/₉₀ , ⁴⁵/₉₀)

اول باید از 1 تا 90 تمام مقسوم علیه های 90 را پیدا کنیم.

{A(90) = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90

حال باید اعدادی را دو به دو باهم جمع بزنیم که بر 3 بخشپذیر هستند.

مثال: {1+2, 1+5, 2+10, 3+6, …} = B

این کار را تا آخرین عدد انجام می دهیم. این اعداد ساده ترین حالت صورت و مخرج است. برای مثال 2+1 را در نظر می گیریم. حال عدد بزرگتر را مخرج و عدد کوچکتر را صورت در نظر می گیریم و به صورت رو به رو عمل می کنیم.

حال اعداد مجموعه B را به همین صورت در برابری مخرج 90 قرار می دهیم و X را بدست می آوریم.

مسئله جنایی کامپیوتر (مرحله دوم المپیاد آزمایشی کامپیوتر- نوروز 98- سوال 1):

دو نفر جاسوس که برای یک شخص سیاسی کار می کردند در آخرین نامه شان به 4 خبر x و y و z و w اشاره کرده بودند ولی متن نامه این دو جاسوس کمی مبهم بود و در نامه ی آنها تناقضاتی به چشم می خورد. چندی پیش که سیاستمدار مورد نظر ما در دفتر کار خودش نشسته و مشغول کارهای خویش بود، یکی دیگر از جاسوسان وی با شتاب وارد اتاق شد و در وسط اتاق ناگهان نقش بر زمین شد. لباس های جاسوس کاملا خون آلود بود و به زحمت صحبت می کرد. او در آخرین لحظات زندگی اش فقط توانست این را بگوید که یکی از دو جاسوس مورد نظر، جاسوس دو جانبه است. ولی فرصت نکرد اسم او را بگوید و درگذشت... بعد از این حادثه سیاستمدار تصمیم گرفت یک بار دیگر نامه دو جاسوس خودش را بررسی کند.

جاسوس اول نوشته بود:

-         دقیقا یکی از خبرهای x و y و w درست است.

-         دقیقا یکی از خبرهای x و y و z درست است.

-         دقیقا یکی از خبرهای z و w درست است.

و نامه جاسوس دوم به این صورت بود:

-         دقیقا یکی از خبرهای x و y و w درست است.

-         دقیقا یکی از خبرهای x و y و z درست است.

-         دقیقا یکی از خبرهای y و z و w درست است.

A. به نظر شما کدام یک از جاسوسان دروغگو و کدام راستگو است؟

B. کدام یک از خبرهای x و y و z و w درست است؟ ادعای خود را اثبات کنید.

پاسخ: A. جاسوس اول دروغگو است. B. خبر y

جاسوس اول گفته است که یکی از x و y و z درست است. اگر x درست باشد، y و z غلط است. اگر y درست باشد، x و w غلط است. اگر z درست باشد، y و x غلط است. در گزارش دوم و سوم همینطور بررسی می کنیم. حال یک بررسی نهایی انجام می دهیم. در گزارش اول اگر x یا y درست باشد، w غلط و در در گزارش دوم نیز اگر x یا y درست باشد، z غلط است. و به این نتیجه رسیده ایم که w و z غلط است. و گزارش سوم حاکی از این گزارش غلط است. بنابراین جاسوس اول، جاسوس دو جانبه است.

برای اطمینان بیشتر نامه جاسوس دوم را نیز می توانید به همین ترتیب بررسی کنید. حال به این نتیجه رسیده ایم که جاسوس دوم راستگو است.

از بررسی نامه جاسوس دوم می فهمیم که کدام گزارش درست است. خبر x غلط است؛ چون از گزارش های اول و دوم نتیجه می گیریم که خبرهای y و z و w غلط است. درحالی که در گزارش سوم گفته شده که یکی از این سه خبر درست است. خبر w غلط است؛ چون از گزارش های اول و سوم نتیجه می گیریم که خبرهای x و y و z غلط است. در حالی که گزارش دوم نشان دهنده ی این است که یکی از این سه خبر درست است. خبر z غلط است؛ چون از گزارش های دوم و سوم نتیجه می گیریم که خبرهای x و y و w غلط است. در حالی که گزارش اول بیان می کند که یکی از این سه خبر درست است. خبر y درست است؛ با غلط بودن دیگر خبرها می فهمیم که خبر y درست است. از راه حل می توان فهمید که در گزارش اول خبرهای x و w غلط است. از گزارش دوم می فهمیم که خبرهای x و z غلط است. و از گزارش سوم بدست می آوریم که خبرهای w و z غلط است. و نتیجه می گیریم که در میان این خبرها فقط y درست است.

تونل سازی (سوال 6 بیست و هشتمین دوره المپیاد ریاضی):

مهندس ناظر تونل توحید در اولین شنبه بعد از آغاز کار از پروژه تونل توحید بازید کرده است. از آن روز به بعد برنامه بازید وی از تونل به این شکل بوده است؛ فردای آن روز یکشنبه از پروژه بازدید کرده و در ادامه هر بار یک روز به فاصله بین بازدید ها اضافه کرده است. صدمین بازدید در چه روزی از هفته انجام شده است؟

الف) شنبه    ب) یک شنبه    ج) دو شنبه    د) سه شنبه    ه) چهار شنبه

جواب: ب) یک شنبه

این سوال فرمول خاصی ندارد و به کمی فکر نیازمند است.

روز بازدید اول شنبه، بازدید دوم یک شنبه، بازدید سوم سه شنبه، بازدید چهارم جمعه و ...

برای بدست آوردن جواب باید فاصله ی بین تمام روز ها را جمع زد. بعد از جمع زدن عدد بدست آمده را بر 7 (تعداد روزهای هفته) تقسیم می کنیم. باقی مانده تقسیم روز هفته می باشد.

نکته: بعد از بار اول 99 بار دیدن کرده است. پس باید از 1 تا 99 بعلاوه 1 را با هم جمع زد.

روش جمع زدن:

  1+ (1+99) + (2+98) + (3+97) + (4+96) + … + (49+51) + 50

این روش جمع زدن به شما کمک می کند تا راحت جمع بزنید.

بسط دو جمله ای نیوتون:

جمله بسط : در جملات بسط، توان a از n شروع شده و به 0 ختم می شود و در هر جمله نسبت به جمله ی قبل از درجه ی a یکی کم و به درجه ی b اضافه می شود. بدین ترتیب توان b از 0 شروع شده و به n ختم می شود.

فاکتوریل (!) : یعنی که اعداد طبیعی را از 1 شروع کرده و تا n که ختم آن است، در هم ضرب کنیم. مثال: (n! = 1×2×3×4×…×n)

مثال هایی برای بسط دو جمله ای نیوتون:

1) اتحاد دو جمله ای مربع:

2) اتحاد دو جمله ای مکعب:

نکاتی درباره این اتحاد:

1) بسط دوجمله ای a+b)ⁿ⁾ دارای n+1 جمله است که بر حسب a و b چند جمله ای درجه ی n متقارن و همگن است.

2) در بسط در جمله ای a+b)ⁿ⁾ جمله هایی که از دو طرف به یک فاصله اند دارای ضرایب مساوی اند.

3) مجموع ضرایب در بسط دو جمله ای a+b)ⁿ⁾ برابر است با 2ⁿ

4) مجموع ضرایب در بسط دو جمله ای a-b)ⁿ⁾ برابر است با 0