معدل کلاسی (مرحله اول بیست و هشتمین دوره المپیاد ریاضی- سوال2): 

یک امتحان 100 نمره ای از دانش آموزان دو کلاس الف و ب گرفته شده است. هر کلاس 50 دانش آموز دارد. پس از اعلام نتایج، مشخص شد که میانگین نمرات کلاس الف از کلاس ب بیشتر است.حداکثر چند دانش آموز در کلاس ب هستند که نمره ی آنها از همه دانش آموزان کلاس الف بیشتر است؟

پاسخ:49 نفر (از 50 نفر)

نمرات را اعداد طبیعی در نظر می گیریم.

حداکثر نمرات کلاس الف برابر 5000 و کلاس ب 4999است. 

با توجه صورت مسئله حداقل نمره کلاس الف باید 4999 باشد و کلاس ب 4998؛ بنابراین حداقل 1 نفر از کلاس ب نمره بهتری از دانش آموزی از کلاس الف دارد.

با توجه به صورت مسئله همه دانش آموزان الف باید نمره 99 داشته باشند. پس:

حداکثر نمرات کلاس الف برابر 4950 و کلاس ب 4949 است. چون همه نمرات بچه های الف 99 است؛ در کلاس ب می توان 49 نفر با نمره 100 و یکی با نمره 1 است. پس حداکثر نمره کلاس ب با توجه به صورت مسئله 4901 است و 49 نفر داریم که نمره شان از همه بچه های کلاس الف بیشتر است.

نسبت های مثلثاتی: 

با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه ای با اضلاع A = 90 ، B = 60 ، C = 30 را در نظر بگیرید؛ 6 نسبت مثلثاتی داریم:

زاویه C   را در نظر بگیرید. نسبت های مثلثاتی عبارتند از:

تانژانت زاویه (tan) : ضلع مقابل/ ضلع مجاور (AB/ BC)

کتانژانت زاویه (cot) : ضلع مجاور/ ضلع مقابل (BC/ AB)

سینوس زاویه (sin) : ضلع مقابل/ وتر (AB/ AC)

کسینوس زاویه (cos) : ضلع مجاور/ وتر (BC/ AC)

کسکانت زاویه (csc یا cosec) : وتر/ ضلع مقابل (AC/ AB)

سکانت زاویه (sec) : وتر/ ضلع مجاور (AC/ BC)

اتحاد های مثلثاتی ساده:

tan = 1 / cot

cot = 1 / tan

sin = 1 / csc

cos = 1 / sec

csc = 1 / sin

sec = 1 / cos

نسبت های مثلثاتی مهم:

این نسبت ها لازم به حفظند. در سال دوم دبیرستان این نسبت ها را با واحد رادیان نمایش می دهند.

در آینده به مباحث تخصصی از جمله اتحاد های مثلثاتی، توابع مثلثاتی و واحد های اندازه گیری می پردازیم.

بازی 2 در 3 (مرحله اول سی و یکمین المپیاد ریاضی):

احسان و حسام در جدولی 2×3 مطابق شکل با هم مهره بازی می کنند. در این بازی هر کس در نوبت خودش می تواند یک مهره در یکی از خانه های خالی جدول قرار دهد یا یکی از مهره های موجود را به خانه سمت راستش یا خانه بالایش منتقل کند، البته اگر آن خانه خالی باشد. بازنده اولین کسی است که نتواند حرکتی انجام دهد. احسان برای شروع بازی کدام یک از خانه های شماره گذاری شده، مهره را قرار دهد تا بتواند بازی را ببرد؟

الف) 1     ب) 2     ج) 3     د) 4     ه) در هر کدام از چهار حالت، حسام می تواند طوری بازی کند که برنده شود.

پاسخ: ه ) در هر کدام از چهار حالت، حسام می تواتند طوری بازی کند که برنده شود.

هر طور با هر گونه هوشیاری حریف عمل کنیم می توانیم ببریم. برای بدست آوردن جواب شما خود را یک شخص با هوشیاری کامل قرار دهید و حریفتان را با کمترین هوشیاری و چهار مهره را قرار داده و بازی کنید. (سوال مربوط به ترکیبات می باشد.)

در اکثر سوالات اکثر آزمون ها گزینه هایی مانند گزینه ه غلط است. اما در این جا این مورد نقض شده است. بهتر است در تست زنی ها به گزینه هایی مانند هیچکدام، همه موارد و ... توجه بیشتری داشته باشیم.

اتحاد ها (2):

·         تعمیم اتحاد جمله ی مشترک:

همینطور می توان اتحاد های مختلفی حاصل از ضرب چند دو جمله با یک جمله مشترک یافت.

مثال: چند جمله ای   (n² + 4m² + 4mn + m³) (n² + 4m² + 4mn – n³) A = را به صورت ضرب 3 جمله نوشته و ساده کنید.

(n² + 4m² + 4mn + m³) (n² + 4m² + 4mn – n³) = ((n + 2m)² + m³) ((n + 2m)² – n³)

--> A = ((n + 2m)²)² + (m³ – n³) (n + 2m)² – (mn)³

--> A = (n + 2m)⁴ + (m – n) (m² + mn + n²) (n + 2m)² – (mn)³

·        تعمیم اتحاد مربع یک چند جمله ای:

مثال: با توجه به اطلاعات زیر یک تعمیم مربع چند جمله ای بنویسید.

1. اعداد عبارتند از: a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n

2. ضریب تمام جملات چند جمله ای مربع برابر یک است.

3. مجموع ضرایب جملات ساده شده برابر 25 است. (مجموع ضرایب را با sum نشان می دهیم.)

4. ضرایب جملات صحیح می باشد.

راهنمایی: max (n) = 10 ، min (n) = 4

پاسخ: برای راحتی اعداد را حروف انگلیسی در نظر می گیریم و امتحان می کنیم:

(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd --> sum = 16

(a + b + c + d + e)² = a² + b² + c² + d² + e² + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de --> sum = 25

پس جواب مسئله مورد دوم می باشد.

دستگاه معادلات (مرحله اول سی و یکمین المپیاد ریاضی- سوال 6):

چند زوج مرتب (x , y) از اعداد حقیقی، در دستگاه معادلات زیر صدق می کند؟

پاسخ: 4 عدد (طبیعی)

یک راه آسان برای حل معادلات این است که اول از اعداد صحیح استفاده کنیم.

با تبدیل دستگاه معادلات به صورت زیر داریم:

اول با در نظر گرفتن اعداد طبیعی می فهمیم که xy (x + y) = 30 حاصلضرب دو عدد است.

حال حالاتی را در نظر می گیریم که اعداد طبیعی از حاصلضرب دو عدد برابر 30 شوند:

1 × 30 = 30

2 × 15 = 30

3 × 10 = 30

5 × 6 = 30

6 × 5 = 30

10 × 3 = 30

15 × 2 = 30

30 × 1 = 30

حال باید یکی از اعداد حاصلضرب را برابر xy و دیگری را برابر x + y گذاریم و امتحان کنیم.

در سه حالت اول و آخر امکان ندارد دو عدد طبیعی x و y در معادله جواب دهند. اما در دو حالت میانی به این صورت داریم:

5 × 6 = 30 --> {x, y € N |xy = 6, x + y =5, (x, y = 2, 3)}

--> * x = 2, y = 3                     * x = 3, y = 2

6 × 5 = 30 --> {x, y € N |xy = 5, x + y =6, (x, y = 1, 5)}

--> * x = 1, y = 5                     * x = 5, y = 1

این کار را با اعداد صحیح و در آخر با اعداد حقیقی انجام باید داد. (حتما انجام می دهیم تا مسئله را اشتباه حل نکنیم. اگر چه فقط وقت ما را می گیرد.)